张量的基本概念
张量（Tensor）是标量、向量概念的推广，它是在坐标变换下遵循特定变换规律的几何对象。
历史发展
- 1900年：里奇和列维-奇维塔发展了张量微积分
- 1915年：爱因斯坦用张量表述广义相对论
- 现代：张量成为理论物理学的基本语言
直观理解
- 标量：不依赖坐标系的量（温度、密度）
- 向量：有方向的量（速度、力）
- 张量：更复杂的几何对象（应力、电磁场）
张量的定义
分量定义法
$(r,s)$ 型张量是具有 $n^{r+s}$ 个分量的对象： \(T^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}\)
在坐标变换 $x^i \to x’^k$ 下： \(T'^{k_1...k_r}_{l_1...l_s} = \frac{\partial x'^{k_1}}{\partial x^{i_1}} \cdots \frac{\partial x'^{k_r}}{\partial x^{i_r}} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x'^{l_1}} \cdots \frac{\partial x^{j_s}}{\partial x'^{l_s}} T^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}\)
几何定义法
张量是定义在流形上的多重线性映射： \(T: T_p^* M \times \cdots \times T_p^* M \times T_p M \times \cdots \times T_p M \to \mathbb{R}\)
张量的类型
按阶数分类
- 0阶张量（标量）：$\phi$
- 1阶张量（向量）：$V^i$
- 2阶张量：$T^{ij}$、$T_i^j$、$T_{ij}$
- 高阶张量：$(r,s)$ 型
按对称性分类
对称张量
\(T_{ij} = T_{ji}\)
反对称张量
\(T_{ij} = -T_{ji}\)
完全对称/反对称
所有指标的任意交换都保持对称/反对称性质。
张量运算
基本运算
加法和标量乘法
\((\alpha T + \beta S)^i_j = \alpha T^i_j + \beta S^i_j\)
张量积
\((T \otimes S)^{ij}_{kl} = T^i_k S^j_l\)
缩并（内积）
\(T^i_i = \sum_i T^i_i\)
高级运算
对称化
\(T_{(ij)} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji})\)
反对称化
\(T_{[ij]} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})\)
外积（楔积）
\(\alpha \wedge \beta = \alpha_{[i}\beta_{j]}dx^i \wedge dx^j\)
特殊张量
度量张量
黎曼度量：$g_{ij}$，正定对称 伪黎曼度量：$g_{\mu\nu}$，非退化对称
性质：
- 定义距离：$ds^2 = g_{ij}dx^i dx^j$
- 指标升降：$V^i = g^{ij}V_j$
列维-奇维塔张量
完全反对称张量：$\epsilon^{i_1…i_n}$
\[\epsilon^{i_1...i_n} = \begin{cases} +1 & \text{if } (i_1,...,i_n) \text{ is even permutation} \\ -1 & \text{if } (i_1,...,i_n) \text{ is odd permutation} \\ 0 & \text{if any two indices are equal} \end{cases}\]克罗内克符号
\[\delta^i_j = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}\]张量场
定义
张量场是流形上每一点都定义张量的函数： \(T^{ij}(x): M \to T^{(r,s)} M\)
微分运算
普通偏导数
\(\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^k}\) 不是张量！
协变导数
\(\nabla_k T^{ij} = \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^k} + \Gamma^i_{kl}T^{lj} + \Gamma^j_{kl}T^{il}\)
物理中的张量
电磁学
电磁场张量
\(F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}\)
麦克斯韦方程
\(\partial_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\nu\)
力学
应力张量
\(\sigma_{ij} = \frac{\partial F_i}{\partial A_j}\)
惯性张量
\(I_{ij} = \int \rho(r)(r^2\delta_{ij} - x_ix_j) d^3r\)
相对论
能量动量张量
\(T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & \rho c v_x & \rho c v_y & \rho c v_z \\ \rho c v_x & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \rho c v_y & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \rho c v_z & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}\)
张量的几何意义
内在性质
张量描述的是几何对象的内在性质，不依赖于坐标系的选择。
线性映射观点
$(r,s)$ 型张量可以看作： \(T: \underbrace{T_p^* M \times \cdots \times T_p^* M}_{r \text{ times}} \times \underbrace{T_p M \times \cdots \times T_p M}_{s \text{ times}} \to \mathbb{R}\)
基向量展开
\[T = T^{i_1...i_r}_{j_1...j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes dx^{j_1} \otimes \cdots \otimes dx^{j_s}\]计算技巧
指标记号法
- 自由指标：等式两边必须相同
- 哑指标：求和指标，可以重新标记
- 爱因斯坦求和约定：重复指标自动求和
常用恒等式
- 度量恒等式：$g_{ij}g^{jk} = \delta^k_i$
- 行列式恒等式：$g = \det(g_{ij})$
- 列维-奇维塔恒等式：$\epsilon_{ijk}\epsilon^{klm} = \delta^l_i\delta^m_j - \delta^m_i\delta^l_j$
现代应用
计算机实现
符号计算系统：
- Mathematica的张量包
- Python的SymPy
- 专用软件如GRTensorII
数值计算
张量网络：
- 量子多体系统
- 机器学习中的张量分解
- 高维数据处理
与其他概念的联系
张量分析不仅是一个数学工具，更是理解现代物理学的语言。它统一了各种物理量的表示方法，使物理定律具有优美的协变形式。