FLRW度量简介
FLRW度量（Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric）是描述均匀各向同性宇宙的时空度量，以四位宇宙学家的名字命名。
宇宙学原理
FLRW度量基于宇宙学原理：
- 空间均匀性：在任何时刻，宇宙在大尺度上是均匀的
- 空间各向同性：从任何点看，宇宙在所有方向上都相同
度量的数学形式
标准形式
\[ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\right]\]其中：
- $a(t)$ 是尺度因子，描述宇宙膨胀
- $k$ 是曲率参数：$k = +1, 0, -1$
- $(r,\theta,\phi)$ 是共动坐标
三种几何
- 闭合宇宙 ($k = +1$)：正曲率，类似3维球面
- 平坦宇宙 ($k = 0$)：零曲率，欧几里得几何
- 开放宇宙 ($k = -1$)：负曲率，双曲几何
弗里德曼方程
通过爱因斯坦场方程，得到控制宇宙演化的弗里德曼方程：
第一弗里德曼方程
\[H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} - \frac{kc^2}{a^2}\]其中 $H = \dot{a}/a$ 是哈勃参数。
加速度方程
\[\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)\]连续性方程
\[\dot{\rho} + 3H\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) = 0\]宇宙学参数
哈勃常数
\[H_0 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)_0 \approx 70 \text{ km/s/Mpc}\]密度参数
\[\Omega = \frac{\rho}{\rho_c}, \quad \rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}\]宇宙年龄
\[t_0 = \int_0^{a_0} \frac{da}{a H(a)}\]不同物质成分的演化
物质主导时期
对于非相对论性物质：$p = 0$ \(\rho_m \propto a^{-3}\) \(a(t) \propto t^{2/3}\)
辐射主导时期
对于相对论性粒子：$p = \rho c^2/3$ \(\rho_r \propto a^{-4}\) \(a(t) \propto t^{1/2}\)
暗能量主导时期
对于宇宙学常数：$p = -\rho c^2$ \(\rho_\Lambda = \text{常数}\) \(a(t) \propto e^{Ht}\)
观测效应
宇宙学红移
\[1 + z = \frac{a_0}{a(t_e)}\]其中 $z$ 是红移，$t_e$ 是发射时间。
距离测量
- 共动距离：$\chi = \int_0^z \frac{c dz’}{H(z’)}$
- 角直径距离：$d_A = \frac{a_0 \chi}{1+z}$
- 光度距离：$d_L = a_0 \chi (1+z)$
与其他概念的联系
FLRW度量为现代宇宙学提供了数学基础，使我们能够定量研究宇宙的演化历史。