广义协变性原理
广义协变性（General Covariance）是广义相对论的基本原理之一，它要求物理定律在任意坐标变换下都保持相同的数学形式。
历史背景
爱因斯坦在发展广义相对论时认识到，如果引力要被几何化，那么物理定律就不能依赖于特定的坐标系选择。
基本表述
广义协变性原理：所有物理定律都应该能够用张量方程来表达，这些方程在任意坐标变换下保持形式不变。
数学基础
坐标变换
考虑从坐标系 $x^\mu$ 到 $x’^\nu$ 的任意变换： \(x'^\nu = x'^\nu(x^\mu)\)
变换必须是：
- 可逆的
- 光滑的（$C^\infty$）
- 非奇异的（雅可比行列式非零）
张量变换规律
标量（0阶张量）
\(\phi'(x') = \phi(x)\)
矢量（1阶张量）
\(V'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} V^\nu\)
协矢量（1阶协变张量）
\(\omega'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} \omega_\nu\)
一般张量
\((r,s)$ 型张量的变换：\)T’^{\mu_1…\mu_r}{\nu_1…\nu_s} = \frac{\partial x’^\mu_1}{\partial x^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial x’^\mu_r}{\partial x^{\alpha_r}} \frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x’^\nu_1} \cdots \frac{\partial x^{\beta_s}}{\partial x’^\nu_s} T^{\alpha_1…\alpha_r}{\beta_1…\beta_s}$$
协变导数
普通偏导数的问题
普通偏导数 $\partial_\mu V^\nu$ 不是张量，因为： \(\frac{\partial V'^\mu}{\partial x'^\nu} \neq \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}\)
协变导数的定义
协变导数 $\nabla_\mu V^\nu$ 是真正的张量： \(\nabla_\mu V^\nu = \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} V^\lambda\)
其中 $\Gamma^\nu_{\mu\lambda}$ 是连接系数。
物理定律的协变表述
电磁场
麦克斯韦方程组的协变形式： \(\nabla_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\nu\) \(\nabla_{[\mu} F_{\nu\lambda]} = 0\)
流体力学
连续性方程： \(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\)
场方程
爱因斯坦场方程： \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)
等价原理与广义协变性
联系
广义协变性是等价原理的数学实现：
- 等价原理要求局部物理等价
- 广义协变性保证全局坐标无关性
局部惯性系
在任意点存在坐标系使得： \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + O(x^2)\) \(\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = O(x)\)
规范不变性与协变性
区别
- 规范不变性：物理可观测量不依赖于规范选择
- 广义协变性：物理定律的形式不依赖于坐标选择
联系
两者都体现了物理理论的基本对称性原理。
背景独立性
含义
广义协变性暗示理论是背景独立的：
- 没有固定的时空背景
- 时空几何由物质决定
- 物质运动由时空几何决定
与其他理论的对比
- 牛顿力学：绝对时空背景
- 狭义相对论：闵可夫斯基时空背景
- 广义相对论：动态时空几何
现代观点
活跃vs被动坐标变换
- 被动变换：改变坐标标记，物理不变
- 活跃变换：改变物理配置本身
点粒子vs场论
在现代场论中，广义协变性的意义更加深刻：
- 体现了时空的基本对称性
- 导致能量动量守恒
- 限制了可能的相互作用形式
实际应用
计算原则
- 用张量表示所有物理量
- 用协变导数替代普通导数
- 确保所有方程都是张量方程
检验方法
验证一个表达式是否协变：
- 检查所有指标是否配对
- 验证张量阶数是否匹配
- 确认自由指标在等式两边相同
哲学意义
相对性原理的推广
广义协变性将相对性原理从惯性系推广到任意参考系，体现了：
- 自然界的基本对称性
- 观察者的平等地位
- 物理定律的普遍性
几何化的思想
通过要求广义协变性，物理学从”物质在时空中运动”转向”物质与时空共同演化”。
与其他概念的联系
广义协变性不仅是一个技术性要求，更是一个深刻的物理原理，它体现了时空与物质的统一性，为现代理论物理学奠定了重要基础。