测地线的基本概念
测地线（Geodesic）是弯曲流形上的”最直”路径，它推广了欧几里得空间中直线的概念。在广义相对论中，自由粒子沿测地线运动。
几何定义
测地线是流形上两点间的极值路径，即：
- 类时测地线：有质量粒子的世界线
- 类光测地线：光子的轨迹
- 类空测地线：数学上的辅助概念
测地线方程的推导
变分原理
测地线可以通过变分原理得到。对于参数化曲线 $x^\mu(\tau)$，考虑作用量：
类时情况： \(S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} \, d\tau\)
类光情况： \(S = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \, d\lambda\)
欧拉-拉格朗日方程
应用变分法，得到测地线方程：
\[\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0\]其中 $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$ 是克里斯托费尔符号。
测地线方程的物理意义
等价原理的体现
测地线方程是等价原理的直接数学表述：
- 自由粒子在引力场中的运动
- 等价于在弯曲时空中的惯性运动
- 引力被”几何化”了
广义协变形式
测地线方程在任意坐标系下具有相同形式，体现了广义协变性原理。
不同参数化的测地线方程
仿射参数
对于一般测地线，使用仿射参数 $s$： \(\frac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{ds} \frac{dx^\rho}{ds} = 0\)
固有时参数
对于类时测地线，使用固有时 $\tau$： \(g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = -c^2\)
坐标时间参数
使用坐标时间 $t$ 作为参数： \(\frac{d^2 x^i}{dt^2} + \Gamma^i_{00} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + 2\Gamma^i_{0j} \frac{dt}{d\tau} \frac{dx^j}{dt} + \Gamma^i_{jk} \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0\)
具体度量下的测地线方程
史瓦西度量
对于史瓦西度量： \(ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\)
径向测地线方程： \(\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2} \frac{1}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^2}\)
FLRW度量
对于均匀各向同性宇宙： \(ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)[dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)]\)
共动观察者的世界线是测地线：$r = \text{const}, \theta = \text{const}, \phi = \text{const}$
测地线偏差方程
定义
考虑一束相邻的测地线，其相对运动由测地线偏差方程描述：
\[\frac{D^2 \xi^\mu}{D\tau^2} = R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma\]其中：
- $\xi^\mu$ 是偏差向量
- $u^\mu$ 是测地线的切向量
- $R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}$ 是黎曼曲率张量
物理意义
- 描述潮汐力的作用
- 相邻自由落体粒子的相对加速度
- 曲率张量的直接观测效应
数值解法
初值问题
给定初始条件：
- 初始位置：$x^\mu(\tau_0)$
-
初始速度：$\frac{dx^\mu}{d\tau}\big _{\tau_0}$
求解微分方程组得到轨迹 $x^\mu(\tau)$。
数值积分方法
- 龙格-库塔方法：经典的常微分方程数值解法
- 保辛积分：保持相空间体积的数值方法
- 自适应步长：处理不同时间尺度的变化
守恒量
克里斯托费尔符号的对称性
如果度量具有某种对称性（存在基链向量），则相应的守恒量：
对于基链向量 $K^\mu$： \(K_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = \text{常数}\)
史瓦西度量的守恒量
-
能量守恒：$E = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right) c \frac{dt}{d\tau}$
-
角动量守恒：$L = r^2 \frac{d\phi}{d\tau}$
应用示例
行星轨道
求解史瓦西度量下的测地线，得到：
- 椭圆轨道的进动
- 水星近日点进动：每世纪43角秒
光线偏折
光子沿类光测地线传播：
- 太阳附近光线偏折角：$\Delta\phi = \frac{4GM}{bc^2}$
- 引力透镜效应
时间测量
测地线上的固有时与坐标时的关系： \(d\tau = \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}/c\)
与其他概念的联系
测地线方程是广义相对论中最基本的运动方程，它将牛顿力学中的惯性运动推广到弯曲时空，为理解引力的几何本质提供了关键洞察。