弗里德曼方程组
弗里德曼方程组是通过将完美流体的能量动量张量代入爱因斯坦场方程，并采用FLRW度量得到的宇宙演化方程。
第一弗里德曼方程（哈勃方程）
\[H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}\]物理意义：
- 左边：宇宙膨胀率的平方
- 右边：引力源（物质密度）、空间曲率、宇宙学常数的贡献
加速度方程（瑞利方程）
\[\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}\]物理意义：
- 描述宇宙膨胀的加速或减速
- 正常物质和辐射导致减速
- 暗能量导致加速膨胀
连续性方程
\[\dot{\rho} + 3H\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) = 0\]物理意义：能量守恒定律在膨胀宇宙中的表现
临界密度与密度参数
临界密度
\[\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}\]当前值：$\rho_{c,0} \approx 9.47 \times 10^{-27}$ kg/m³
密度参数
- 物质密度参数：$\Omega_m = \frac{\rho_m}{\rho_c}$
- 辐射密度参数：$\Omega_r = \frac{\rho_r}{\rho_c}$
- 暗能量密度参数：$\Omega_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{3H^2}$
- 曲率密度参数：$\Omega_k = -\frac{kc^2}{a^2H^2}$
宇宙学平坦性条件
\[\Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda + \Omega_k = 1\]不同宇宙模型的解
爱因斯坦-德西特宇宙（$\Lambda$CDM）
标准宇宙学模型的参数：
- $\Omega_{m,0} \approx 0.31$（物质）
- $\Omega_{\Lambda,0} \approx 0.69$（暗能量）
- $\Omega_{r,0} \approx 5 \times 10^{-5}$（辐射）
- $k = 0$（平坦）
物质主导宇宙（$k = 0$）
\(a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}\) \(H(t) = \frac{2}{3t}\)
辐射主导宇宙（$k = 0$）
\(a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{1/2}\) \(H(t) = \frac{1}{2t}\)
指数膨胀（德西特空间）
\[a(t) = a_0 e^{H_0(t-t_0)}\]宇宙演化的阶段
早期宇宙
- 普朗克时代（$t < 10^{-43}$ s）
- 大统一时代（$10^{-43}$ s $< t < 10^{-36}$ s）
- 暴胀时代（$10^{-36}$ s $< t < 10^{-32}$ s）
- 辐射主导时代（$10^{-32}$ s $< t < 47,000$ 年）
晚期宇宙
- 物质主导时代（47,000 年 $< t < 9.8$ 亿年）
- 暗能量主导时代（$t > 9.8$ 亿年）
哈勃定律与距离阶梯
局域哈勃定律
\[v = H_0 d\]对于近距离天体的线性近似。
宇宙学距离
\[d_L(z) = \frac{c}{H_0} (1+z) \int_0^z \frac{dz'}{\sqrt{\Omega_m(1+z')^3 + \Omega_\Lambda}}\]观测验证
超新星观测
Ia型超新星作为标准烛光，验证了：
- 宇宙加速膨胀
- 暗能量的存在
宇宙微波背景
CMB观测确定了：
- 宇宙的平坦性（$\Omega_k \approx 0$）
- 物质和暗能量的相对丰度
重子声学振荡
BAO测量提供了：
- 标准尺度的宇宙学探针
- 暗能量状态方程的约束
数值求解方法
直接积分
\[t(a) = \int_0^a \frac{da'}{a' H(a')}\]相平面分析
研究 $(a, \dot{a})$ 相空间中的轨迹。
与其他概念的联系
弗里德曼方程是现代宇宙学的核心，它将宇宙的几何演化与物质内容联系起来，为理解宇宙历史提供了定量框架。