切空间的定义
切空间（Tangent Space）是微分几何中的基本概念，它在流形的每一点处定义了一个线性空间，用于描述该点处的”方向”概念。
几何直观
对于嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的2维曲面，一点处的切空间就是该点处的切平面。但对于抽象流形，我们需要更一般的定义。
代数定义
设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形，$p \in M$。点 $p$ 处的切空间 $T_p M$ 可以定义为：
方法一：导数算子观点 $T_p M$ 是 $C^\infty(M)$ 上所有在点 $p$ 处的导数算子构成的线性空间。
导数算子 $v: C^\infty(M) \to \mathbb{R}$ 满足：
- 线性性：$v(af + bg) = av(f) + bv(g)$
- 莱布尼兹法则：$v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g)$
方法二：等价类观点 考虑通过点 $p$ 的所有光滑曲线，两条曲线等价当且仅当它们在 $p$ 点有相同的切向量。
坐标基底
选择坐标图 $(U, \phi)$，坐标函数为 $(x^1, \ldots, x^n)$，则切空间的自然基底为：
\[\left\{\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p\right\}\]| 其中 $\frac{\partial}{\partial x^i}\big | _p$ 是偏导数算子： |
切向量
切空间中的元素称为切向量。任意切向量 $v \in T_p M$ 可以表示为：
\[v = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p\]其中 $v^i$ 是分量，采用爱因斯坦求和约定。
坐标变换
在坐标变换 $x^i \to y^j$ 下，切向量分量的变换规律为：
\[v^j = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} v^i\]这是协变变换规律。
切丛
所有点处切空间的并集构成切丛（Tangent Bundle）：
\[TM = \bigcup_{p \in M} T_p M\]切丛是一个 $2n$ 维流形，具有自然的丛结构。
向量场
流形上的向量场是切丛的截面，即每一点指定一个切向量的光滑选择：
\[X: M \to TM, \quad p \mapsto X_p \in T_p M\]在坐标下表示为：$X = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$
余切空间
与切空间对偶的是余切空间 $T_p^* M$，它是 $T_p M$ 的对偶线性空间。
坐标基底
| 余切空间的自然基底为：${dx^1 | _p, \ldots, dx^n | _p}$ |
其中 $dx^i$ 满足：$dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta^i_j$
对偶性
存在自然的配对：$\langle \cdot, \cdot \rangle: T_p^* M \times T_p M \to \mathbb{R}$
应用示例
曲线的切向量
设 $\gamma: I \to M$ 是光滑曲线，则 $t_0$ 处的切向量为：
\[\dot{\gamma}(t_0) f = \frac{d}{dt}(f \circ \gamma)\bigg|_{t=t_0}\]方向导数
沿向量场 $X$ 的方向导数：$(X f)(p) = X_p f$
物理解释
在物理学中：
- 速度向量：粒子轨迹的切向量
- 动量空间：相空间的余切空间
- 场的变化率：标量场沿向量场的方向导数
与其他概念的联系
切空间概念为在弯曲空间中进行线性代数运算提供了基础，是理解张量和微分形式的关键。