流形的定义
流形（Manifold）是现代微分几何的核心概念，它为我们研究弯曲空间提供了严格的数学框架。直观地说，流形是局部看起来像欧几里得空间的几何对象。
拓扑流形
一个 $n$ 维拓扑流形 $M$ 是一个拓扑空间，满足：
- 局部欧几里得性质：每一点都有一个邻域同胚于 $\mathbb{R}^n$ 的开集
- 豪斯多夫性质：任意两个不同点都可以用不相交的开集分离
- 第二可数性：存在可数的拓扑基
坐标图与图册
坐标图（Chart）：流形上一点 $p$ 的坐标图是一个对 $(U, \phi)$，其中：
- $U$ 是包含 $p$ 的开集
- $\phi: U \to \mathbb{R}^n$ 是同胚映射
图册（Atlas）：覆盖整个流形的坐标图的集合
坐标变换
当两个坐标图 $(U_\alpha, \phi_\alpha)$ 和 $(U_\beta, \phi_\beta)$ 重叠时，坐标变换函数为：
\[\phi_{\beta} \circ \phi_\alpha^{-1}: \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\]微分流形
如果所有坐标变换都是 $C^\infty$ 函数，则称为光滑流形或微分流形。
重要例子
- 球面 $S^2$：可以用两个坐标图覆盖（去掉北极和南极）
- 环面 $T^2$：$S^1 \times S^1$
- 实射影空间 $\mathbb{RP}^n$
- 李群：如 $SO(3)$、$SU(2)$ 等
流形上的函数
光滑函数
流形上的函数 $f: M \to \mathbb{R}$ 称为光滑的，如果对于任意坐标图 $(U, \phi)$，复合函数 $f \circ \phi^{-1}$ 在 $\phi(U)$ 上是 $C^\infty$ 的。
函数空间
记 $C^\infty(M)$ 为流形 $M$ 上所有光滑函数构成的代数。
物理意义
在物理学中，流形为时空提供了数学描述：
- 时空流形：4维伪黎曼流形
- 相空间：经典力学中的状态空间
- 场空间：场论中的配置空间
与其他概念的联系
流形概念的引入使得我们能够在弯曲空间中进行微积分运算，这为广义相对论奠定了几何基础。