连接的基本概念
连接（Connection）是微分几何中的核心概念，它解决了在弯曲空间中如何定义导数的问题。在平直空间中，我们可以直接比较不同点的向量，但在弯曲流形上，不同点的切空间是不同的线性空间，无法直接比较。
几何直观
想象在球面上移动一个向量：
- 沿不同路径平行输运同一个向量会得到不同结果
- 这种”扭转”反映了空间的弯曲性质
- 连接提供了定义”平行”概念的数学框架
仿射连接
定义
流形 $M$ 上的仿射连接是一个映射： \(\nabla: \Gamma(TM) \times \Gamma(TM) \to \Gamma(TM)\)
记作 $\nabla_X Y$，满足：
-
对第一个参数的 $C^\infty(M)$-线性性： \(\nabla_{fX + gY} Z = f\nabla_X Z + g\nabla_Y Z\)
-
对第二个参数的线性性： \(\nabla_X (Y + Z) = \nabla_X Y + \nabla_X Z\)
-
莱布尼兹法则： \(\nabla_X (fY) = X(f) Y + f\nabla_X Y\)
克里斯托费尔符号
在局部坐标系 ${x^i}$ 中，连接完全由克里斯托费尔符号 $\Gamma^k_{ij}$ 确定：
\[\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} = \Gamma^k_{ij} \frac{\partial}{\partial x^k}\]对任意向量场 $X = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ 和 $Y = Y^j \frac{\partial}{\partial x^j}$：
\[\nabla_X Y = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} Y^j\right) \frac{\partial}{\partial x^k}\]协变导数
向量场的协变导数
向量场 $V$ 沿方向 $X$ 的协变导数为： \((\nabla_X V)^k = X^i \left(\frac{\partial V^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} V^j\right)\)
标量函数的协变导数
对标量函数 $f$：$\nabla_X f = X(f) = X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$
张量的协变导数
对 $(r,s)$ 型张量 $T$，协变导数包含：
- 普通偏导数项
- 每个上指标的正连接项
- 每个下指标的负连接项
例如，对 $(1,1)$ 型张量： \((\nabla_k T^i_j) = \frac{\partial T^i_j}{\partial x^k} + \Gamma^i_{kl} T^l_j - \Gamma^l_{kj} T^i_l\)
平行输运
定义
向量 $V$ 沿曲线 $\gamma(t)$ 平行输运当且仅当： \(\frac{DV}{dt} = \nabla_{\dot{\gamma}} V = 0\)
这给出微分方程： \(\frac{dV^k}{dt} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} V^j = 0\)
性质
- 平行输运保持向量间的内积（在度量连接下）
- 平行输运沿路径依赖（除非空间平坦）
- 无穷小平行四边形的闭合缺陷测量曲率
度量连接
当流形具有度量 $g$ 时，存在唯一的度量相容且无挠率的连接，称为Levi-Civita连接。
Levi-Civita连接
克里斯托费尔符号由度量确定： \(\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)\)
度量相容性
\[\nabla_k g_{ij} = 0\]这意味着度量在平行输运下保持不变。
测地线
定义
测地线是自平行的曲线，即其切向量沿曲线平行输运： \(\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0\)
测地线方程
参数化为 $\gamma(t) = (x^i(t))$： \(\frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0\)
测地线是两点间的”最短路径”（在适当意义下）。
挠率
连接的挠率张量定义为： \(T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]\)
其中 $[X,Y]$ 是向量场的李括号。
挠率的坐标表示
\[T^k_{ij} = \Gamma^k_{ij} - \Gamma^k_{ji}\]Levi-Civita连接具有零挠率：$T^k_{ij} = 0$
物理应用
广义相对论
- 时空的Levi-Civita连接描述引力场
- 自由粒子沿测地线运动
- 潮汐力由曲率张量描述
规范场论
- 杨-Mills场是主丛上的连接
- 协变导数保持规范不变性
- 场强张量是连接的曲率
与其他概念的联系
连接概念统一了微分几何中的导数、平行输运和测地线理论，为理解弯曲空间的几何提供了强有力的工具。