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设AB是给定的有限直线。
于是，要求在直线AB上作一个等边三角形。
以A为圆心、AB为距离作圆BCD；
以A为圆心、AB为半径作圆
根据[公设3]，我们可以以任意点为圆心、任意距离为半径作圆。
再以B为圆心、BA为距离作圆ACE；
以B为圆心、BA为半径作圆
同样根据[公设3]，我们作第二个圆。
从两圆的交点C到点A、点B连直线CA、CB。
连接交点C与A、B
根据[公设1]，我们可以连接任意两点。
现在，由于点A是圆CDB的圆心，所以AC等于AB。
[圆的定义]
又，由于点B是圆CAE的圆心，所以BC等于BA。
[圆的定义]
但已证明，CA也等于AB；
因此，直线CA、CB中的每一条都等于AB。
而等于同量的量也彼此相等；
[等量传递假设]
因此，CA也等于CB。
因此，三条直线CA、AB、BC彼此相等。
因此，三角形ABC是等边的；且它是在给定的有限直线AB上作的。
这就是所要作的。（Q.E.F.）
...已知一点C和线段AB,作直线过C等于AB.
连接BC [公设1].
以BC为边[作正三角形]BCD.
以B为圆心AB为半径作圆B [公设3]
延长DB交圆B于E [公设2]
以D为圆心DE为半径作圆D [公设3]
延长DC交圆D于F [公设2]
CF 即是所要求的直线.
因为AB=BE,DE=DF [圆的定义]
DBC是等边三角形,DC=DB;
CF=DF-DC,BE=DE-DB;
所以CF=BE [等量相减假设]
所以CF=AB [等量传递假设]
...费曼总是从历史的困惑开始讲故事：
19世纪末的"完美"物理学：
✓ 牛顿力学 - 解释了天体运动
✓ 麦克斯韦电磁学 - 统一了电、磁、光
✓ 热力学 - 理解了热现象
但是...有两朵"乌云"：
1. 黑体辐射问题（导致量子论）
2. 光速问题（导致相对论）
从麦克斯韦方程组推导出：光速 $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
费曼的疑问：”这个速度是相对于什么测量的？”
经典物理的类比：
声速：相对于空气
水波速度：相对于水
那么光速：相对于什么？
19世纪的答案：相对于"以太"！
实验设想：
地球在以太中运动 → 应该有"以太风"
光沿不同方向传播 → 速度应该不同
精密测量 → 应该能探测到以太风
实验结果：没有以太风！
光速在所有方向都相同！
费曼的震撼：”这个结果彻底颠覆了我们对空间和时间的理解！”
爱因斯坦没有试图解释为什么找不到以太，而是提出了两个大胆的假设：
狭义相对论的两个基本原理：
1. 相对性原理：
物理定律在所有惯性参考系中都相同
2. 光速不变原理：
真空中光速对所有惯性观察者都相同
费曼的评价：”这两个简单的假设，改变了我们对宇宙的整个认识！”
牛顿的绝对时空观：
- 时间：绝对的，到处都一样
- 空间：绝对的，独立于物质
- 同时性：绝对的，全宇宙统一
爱因斯坦的相对时空观：
- 时间：相对的，与运动有关
- 空间：相对的，与时间纠缠
- 同时性：相对的，依赖观察者
想象一列高速行驶的火车：
实验设置：
火车中央有一个光源
同时向前后发出两束光
车厢前后各有一个探测器
车上观察者的观点：
光速相同 → 同时到达前后探测器
地面观察者的观点：
火车向前运动 → 后探测器"迎接"光
前探测器"逃离"光
→ 光先到达后探测器，后到达前探测器
费曼的结论：”同时性不是绝对的，而是相对于观察者的！”
对于两个事件，如果在参考系S中同时发生（$\Delta t = 0$），在参考系S’中：
\[\Delta t' = -\gamma \frac{v \Delta x}{c^2}\]物理意义：空间分离的同时事件，在其他参考系中不再同时！
费曼喜欢用光钟来解释时间膨胀：
光钟的构造：
两面平行镜子，光在其间往返
每次往返 = 一个"时钟滴答"
静止时：
光走直线距离 = 2L
时间间隔 = 2L/c
运动时（从地面观察）：
光走斜线距离 > 2L
但光速仍为c
→ 时间间隔变长！
其中：$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，$\Delta \tau$ 是固有时间
费曼的诗意表达：”运动的时钟走得慢，这不是时钟的问题，而是时间本身的性质！”
双生子实验：
哥哥：留在地球
弟弟：高速飞往远方恒星
结果：弟弟回来时比哥哥年轻！
关键：这不是佯谬，而是真实的物理效应
费曼的解释：”时间不是绝对的背景，而是动态的物理量！”
测量运动尺子的长度：
必须"同时"记录尺子两端的位置
但"同时"是相对的！
结果：运动方向上的长度收缩
L = L₀/γ = L₀√(1-v²/c²)
费曼的洞察：”空间和时间不是独立的，它们是一个统一体的两个方面！”
长度收缩的特点：
1. 只在运动方向收缩
2. 垂直方向不变
3. 是真实的物理效应
4. 是相互的（相对的）
伽利略变换（牛顿时代）：
x' = x - vt
t' = t
（时间绝对，空间简单相加）
洛伦兹变换（爱因斯坦时代）：
x' = γ(x - vt)
t' = γ(t - vx/c²)
（时空混合，相互依赖）
费曼的评价：”洛伦兹变换是自然界的基本对称性，比伽利略变换更深刻！”
时空图中的洛伦兹变换：
- 类似于空间中的旋转
- 但是"双曲旋转"
- 光速线保持不变
- 因果关系得到保持
经典物理：
车速30 km/h，车上人走路5 km/h
→ 人相对地面速度 = 35 km/h
相对论：
飞船速度0.8c，飞船发射光
→ 光相对地面速度 ≠ 1.8c，仍为c！
费曼的观察：”无论怎么合成，都不能超过光速！光速是宇宙的极限速度。”
静止质量 m₀：物体静止时的质量
相对论质量 m：m = γm₀
动能的相对论表达：
K = (γ - 1)m₀c²
总能量：
E = γm₀c² = mc²
费曼的震撼：”质量和能量是同一事物的不同表现！”
质能关系的后果：
1. 质量可以转化为能量（核反应）
2. 能量可以转化为质量（粒子创生）
3. 光子：零静止质量，但有能量和动量
4. 束缚能：结合的系统质量减少
化学反应：
燃烧1克碳 → 释放约10⁴焦耳能量
质量亏损 ≈ 10⁻¹³克（太小难测）
核反应：
1克物质完全转化 → 释放约10¹⁷焦耳
相当于2万吨TNT炸药！
费曼引用闵可夫斯基的名言：
“从今以后，空间本身和时间本身注定要消失在阴影中，只有两者的统一才能保持独立的实在性。”
三维空间中的距离：
ds² = dx² + dy² + dz²
四维时空中的间隔：
ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²
不变性：时空间隔在所有惯性参考系中都相同！
时空图中的概念：
- 世界线：粒子在时空中的轨迹
- 光锥：光信号能到达的区域
- 类时间隔：可以有因果关系
- 类空间隔：不能有因果关系
1. 时间膨胀：
- μ子寿命实验
- 原子钟飞行实验
- GPS卫星时间修正
2. 长度收缩：
- 高能粒子实验
- 天体物理观测
3. 质能关系：
- 核反应
- 粒子加速器
- 恒星能源
GPS系统：
必须考虑相对论效应
否则定位误差每天累积数公里！
粒子加速器：
设计完全基于相对论
否则粒子不会按预期轨道运动
核能：
E=mc²直接应用
质量亏损转化为能量
牛顿的绝对时空：
时间和空间是物理过程的舞台
独立于物质和运动存在
爱因斯坦的相对时空：
时空是物理过程的参与者
与物质和运动密切相关
费曼的深刻洞察：”虽然同时性是相对的，但因果关系是绝对的！”
因果关系的不变性：
- 原因总是在结果之前
- 信息传递不能超过光速
- 光锥结构保证因果性
狭义相对论只适用于：
- 惯性参考系
- 没有引力的情况
- 平直时空
但现实中：
- 参考系常常是加速的
- 引力无处不在
- 时空可能是弯曲的
费曼讲述爱因斯坦的”最快乐的思想”：
等价原理：
引力场中的自由落体 = 没有引力的惯性运动
加速参考系中的效应 = 引力场中的效应
这个洞察导致了广义相对论！
费曼欣赏相对论的对称性：
费曼强调：”理论再美妙，如果与实验不符，就必须修正或放弃。”
费曼的警告：
"常识"基于日常经验
但宇宙比我们的经验丰富得多
必须准备好接受"反常识"的真理
学习路径：
观察实验 → 发现矛盾 → 提出假设 → 推导结果 → 验证预言
费曼式思想实验：
数学工具：
- 洛伦兹变换
- 四维矢量
- 闵可夫斯基图
- 双曲函数
掌握狭义相对论后，可以深入学习：
费曼对相对论的最终评价：
“相对论告诉我们，宇宙比我们想象的更加奇妙。时间可以变慢，空间可以收缩，质量可以变成能量。但最美妙的是，这些看似神奇的现象，都遵循着简单而优美的数学规律。这就是自然的深层和谐。”
狭义相对论不仅改变了我们对时空的理解，更重要的是，它教会我们用更开放的心态面对自然的奥秘。这种思维方式将引导我们走向 [广义相对论] 和现代物理学的更深层次。
...想象你在一个平面上，向量就是带方向的箭头。这个箭头有两个关键属性：
↗ v = (3, 2)
/
/ 长度 = √(3² + 2²) = √13
/
●────→ 方向：与x轴成arctan(2/3)角度
关键洞察：这三种观点本质上是同一回事！
v + w 的几何意义：
v ──→ ●
│
│w
↓
● ←── 结果向量
例子：你向东走3步，再向北走2步，最终位置就是向量(3,0) + (0,2) = (3,2)。
2v：将向量v拉伸2倍
-v：将向量v反向
0.5v：将向量v压缩一半
物理例子：如果v表示速度，那么2v就是两倍的速度，方向不变。
线性变换是一种特殊的函数，它将向量映射到向量，并且保持两个性质：
想象平面上有一个方格纸，线性变换就是保持网格线平行且等距的变形：
原始网格： 旋转变换： 拉伸变换：
┌─┬─┬─┐ ╱─╲─╱─╲ ┌──┬──┬──┐
├─┼─┼─┤ → ╱─╲─╱─╲─╱ 或 ├──┼──┼──┤
├─┼─┼─┤ ╲─╱─╲─╱─╲ ├──┼──┼──┤
└─┴─┴─┘ ╲─╱─╲─╱─╲ └──┴──┴──┘
\(R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
几何意义：将整个平面绕原点逆时针旋转θ角度。
例子：将点(1,0)旋转90°得到(0,1)。
\(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
几何意义：关于x轴的镜像反射。
\(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)
几何意义：x方向拉伸2倍，y方向拉伸3倍。
矩阵不是神秘的数字表格，而是线性变换的指令书！
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]这个矩阵告诉我们：
$A \cdot B$ 的几何意义：先做变换B，再做变换A
记忆技巧：从右往左读，就像穿衣服一样，先穿内衣（B），再穿外套（A）。
行列式 $\det(A)$ 告诉我们：变换后面积变化了多少倍
原始单位正方形面积 = 1
变换后平行四边形面积 = |det(A)|
如果 det(A) = 3，面积变成3倍
如果 det(A) = -2，面积变成2倍，且方向翻转
如果 det(A) = 0，所有图形被压扁成线或点
物理例子：如果你有一块橡皮泥，线性变换就是拉伸、压缩或旋转它，行列式告诉你体积变化了多少。
在线性变换中，大多数向量会改变方向，但有些特殊的向量只改变长度，不改变方向，这就是特征向量！
变换前： ──→ v
变换后： ────→ λv (只是拉伸了λ倍)
想象一个旋转的陀螺：
其中：
我们已经熟悉了2D和3D空间中的向量，但向量空间的概念更广泛：
例子1：函数空间 函数也可以看作”向量”！
例子2：多项式空间 所有二次多项式 $ax^2 + bx + c$ 形成一个3维向量空间：
基就像坐标系的”标准杆”：
维数就是基向量的个数，也是描述空间中任意向量所需的独立参数个数。
内积 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 不只是计算公式，它有深刻的几何意义：
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\]其中θ是两向量夹角。
例子1：判断垂直 如果 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$，则两向量垂直。
例子2：计算角度 \(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\)
例子3：物理中的功 推箱子时，如果力的方向与运动方向夹角为θ，则有效做功 = $F \cos\theta \times d$
在量子力学中：
多自由度振动系统：
用矩阵分析复杂电路：
2×2矩阵：想象成平行四边形的面积
3×3矩阵：想象成平行六面体的体积
"行走列，内积求和"
第i行与第j列的内积 = 结果矩阵的(i,j)元素
"特征向量是变换的'固执'方向"
无论怎么变换，它都坚持自己的方向不变
线性代数是通往高级数学和物理的桥梁：
掌握了线性代数的几何直观后，您就可以：
记住：线性代数不是抽象的符号游戏，而是描述空间、变换和对称性的美妙语言！
...想象你开车从家到学校：
位置-时间图：
位置 ↑ ●B (t₂, s₂)
│ ╱
│ ╱ 平均速度 = (s₂-s₁)/(t₂-t₁)
│ ╱
│ ╱
●A (t₁, s₁)
└────────→ 时间
平均速度很容易理解，但瞬时速度呢？
导数就是曲线在某点的切线斜率！
y = f(x) 的图像：
↑
│ ●P (x, f(x))
│ ╱│ 切线斜率 = f'(x)
│ ╱ │
│ ╱ │
│╱ │
└────┼────→
x
物理直观：
几何图像：
y ↑
│ ●(x+h, f(x+h))
│ ╱│
│╱ │ f(x+h)-f(x)
● │
│ │
└──┼─h─→ x
x
当h越来越小，割线逐渐变成切线！
f(x) = 2x + 1
↑
│ ╱ 斜率处处为2
│ ╱ 所以 f'(x) = 2
│╱
└────→
f(x) = x² f'(x) = 2x
↑ ↑
│ ● │ ╱
│ ╱ ╲ │ ╱
│ ╱ ╲ │╱
│ ╱ ╲ └────→
└────────→ │╲
│ ╲
在x=0处，抛物线是平的，所以f’(0)=0！
f(x) = eˣ 的神奇性质：
↑
│ ●●● 斜率=函数值
│ ●● f'(x) = eˣ = f(x)
│ ●●
│●●
└────────→
惊人事实：eˣ 的导数还是它自己！
位置 s(t) ──导数──→ 速度 v(t) ──导数──→ 加速度 a(t)
│ │ │
│ │ │
路程图 速度图 加速度图
积分最初的想法很简单：计算曲线下的面积
y = f(x) 下的面积：
↑
│ ●●●●●
│●●●●●●●
│●●●●●●●●
│●●●●●●●●●
└─────────→
a b
黎曼和的思想：用很多小矩形逼近面积
矩形逼近：
↑
│ ┌─┐┌─┐┌─┐
│ │ ││ ││ │
│ │ ││ ││ │
│ │ ││ ││ │
└─┴─┴┴─┴┴─┴→
有向面积的含义：
有向面积示例：
↑
│ ●●● +面积
├─────────→
│ ░░░ -面积
│
如果 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，那么 $F’(x) = f(x)$
几何直观：
F(x) = 从a到x的累积面积
↑
│ ●●●●●●← f(x)
│●●●●●●●
│●●●●●●● ← F(x)
│●●●●●●●
└─────┼──→
a x
当x增加一点点，新增面积 ≈ f(x) × dx，所以 F’(x) = f(x)！
其中F是f的任意原函数。
几何意思：要算面积，只需要知道”累积函数”在两端的值！
速度-时间图下的面积 = 位移
↑ v
│ ┌─────┐
│ │ │ 面积 = v×t = 位移
│ │ │
└─┴─────┴──→ t
力-位移图下的面积 = 功
↑ F
│ ●●●●●
│●●●●●●● 面积 = 功 W
│●●●●●●●
└─────────→ s
电流-时间图下的面积 = 电荷
↑ I
│ ●●●●●
│●●●●●●● 面积 = 电荷 Q
│●●●●●●●
└─────────→ t
对于二元函数 z = f(x,y)，想象一个山峰：
山峰的等高线图：
y ↑
│ ○ ○ ○ ← 等高线
│ ○ ○ ○ ○
│○ ○ ○ ○ ○
└─────────→ x
偏导数的几何意义：
几何直观：梯度向量指向函数增长最快的方向！
等高线和梯度：
y ↑
│ ○ ○ ○
│ ○ ↗ ○ ○ ← 梯度向量
│○ ○ ○ ○ ○
└─────────→ x
物理例子：
几何意义：曲面 z = f(x,y) 下方的体积
体积的几何图像：
z ↑
│ ●●●●● ← 曲面 z = f(x,y)
│●●●●●●●
│●●●●●●●●
└─────────→ y
╱
╱ x
几何解释：在每一点，方程告诉我们解曲线的斜率！
方向场：
y ↑
│ ╱ ╱ ╱ ╱
│╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ← 每个小线段表示斜率
│ ╱ ╱ ╱ ╱
└─────────→ x
解：y = Ce^(kt)
y ↑
│ ●●●●● k > 0: 指数增长
│ ●●●
│ ●●
│●
└─────→ t
应用：人口增长、放射性衰变、复利计算
解：y = A cos(ωt + φ)
y ↑
│ ● ●
│ ╱ ╲ ╱ ╲ ← 正弦波
├╱───╲╱───╲──→ t
│ ● ●
应用：弹簧振动、电路振荡、量子谐振子
任何”好”的函数都可以写成无穷级数：
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots\]几何直观：用多项式逐步逼近复杂函数
sin(x) 的泰勒展开：
↑
│ ●●●● ← sin(x)
│ ●●●●●●
│ ●●● ●●●
├●───────●──→
│ ╲ ╱
│ ●●●●● ← 多项式近似
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\)
牛顿第二定律的微分形式： \(F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}\)
例子：自由落体 \(m\frac{d^2x}{dt^2} = -mg\)
解得：$x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$
法拉第感应定律： \(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)
几何意义：磁通量变化率产生电动势
热传导方程： \(\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T\)
物理意义：温度随时间的变化与空间中的温度分布有关
微积分是通往高级数学的门户：
永远先画图，再计算！图形能帮助你：
把抽象概念与物理现象联系：
先理解简单情况，再推广：
掌握微积分后，您可以深入学习：
记住：微积分不是计算技巧的集合，而是理解变化和累积的强大思维工具！
...历史上，复数被称为”虚数”，仿佛它们不真实。但费曼会说：”复数比实数更’真实’，因为它们揭示了数学的完整图景！”
复数的诞生：
方程 x² + 1 = 0 在实数中无解
但如果我们定义 i² = -1
那么 x = ±i 就是解！
复数 $z = a + bi$ 可以表示为平面上的点：
复平面（高斯平面）：
虚轴 ↑
│ z = a + bi
│ ╱
│╱
─────────────┼─────────────→ 实轴
│ a
│
几何直观：
| 模长：$ | z | = \sqrt{a^2 + b^2}$（到原点的距离） |
欧拉公式的几何意义：
e^{iθ} = cos θ + i sin θ
几何解释：
单位圆上角度为θ的点
费曼的惊叹：”欧拉公式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 将五个最重要的数学常数联系在一起，这是数学中最美的公式！”
复数加法 z₁ + z₂：
几何上就是向量的首尾相接
z₁ = 2 + i
z₂ = 1 + 2i
z₁ + z₂ = 3 + 3i
图形：平行四边形法则
复数乘法的几何意义最为美妙：
\[z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]几何解释：
| 模长相乘：$ | z_1 z_2 | = | z_1 | z_2 | $（缩放） |
乘以 i 的几何意义：
i = e^{iπ/2}
乘以 i → 逆时针旋转90°
1 × i = i (1向上转90°)
i × i = -1 (i再转90°变成-1)
-1 × i = -i (-1再转90°变成-i)
-i × i = 1 (-i再转90°回到1)
几何意义：模长相除，幅角相减
复函数 $w = f(z)$ 是从复平面到复平面的映射：
z-平面 ──f──→ w-平面
(输入) (输出)
每个点 z 映射到点 w = f(z)
几何效果：
- 乘以 a：旋转 + 缩放
- 加上 b：平移
整体：相似变换（保持形状）
极坐标形式：
z = re^{iθ} → w = r²e^{2iθ}
几何效果：
- 距离平方：r → r²
- 角度加倍：θ → 2θ
上半平面 → 整个平面
右半平面 → 上半平面
几何效果：
z = re^{iθ} → w = (1/r)e^{-iθ}
- 距离倒数：r → 1/r
- 角度反向：θ → -θ
- 圆心不在原点的圆 → 圆或直线
关键差异：$h$ 可以从复平面的任意方向趋近于0！
如果 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在点 $z$ 解析，则：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]几何意义：解析函数局部保持角度（保角映射）！
解析函数的神奇性质：
1. 保持角度：两条曲线的夹角不变
2. 局部保形：小区域的形状基本不变
3. 调和函数：实部和虚部都满足拉普拉斯方程
例子：
f(z) = z² 在 z = 1 处：
- 将角度 θ 变为 2θ
- 但局部仍保角（微小角度保持）
几何意义：沿曲线C对复函数进行”复杂的”积分
柯西定理：如果 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 内部解析，则： \(\oint_C f(z) dz = 0\)
几何直观：
解析函数的积分只依赖于起点和终点
与路径无关！
这就像保守力场中的功：
只与起终点有关，与路径无关
惊人含义：解析函数在内部任一点的值，完全由边界上的值决定！
费曼的比喻：”就像知道了一个房间墙上所有点的温度，就能推断出房间内任意点的温度！”
函数的奇点类型：
1. 可去奇点：f(z) = sin(z)/z 在 z = 0
2. 极点：f(z) = 1/z² 在 z = 0
3. 本质奇点：f(z) = e^{1/z} 在 z = 0
留数：函数在奇点附近的”残留”信息
几何直观：
积分值 = 2πi × 所有奇点留数之和
这将复杂的积分计算
转化为简单的留数计算！
例子：计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$
技巧：
1. 考虑复函数 f(z) = 1/(1+z²)
2. 在上半平面选择半圆路径
3. 利用留数定理
4. 让半圆半径趋于无穷
结果：π
共形映射是保角的双射映射，在复分析中就是解析函数！
共形映射的性质：
1. 保持角度
2. 局部保形
3. 将调和函数映为调和函数
几何效果：将圆映为圆（直线看作半径无穷大的圆）
几何效果：
- 水平直线 → 以原点为中心的圆
- 垂直直线 → 从原点出发的射线
- 矩形 → 扇形
应用：将圆映为椭圆，用于翼型设计！
复势函数 F(z) = φ + iψ：
- φ：速度势（实部）
- ψ：流函数（虚部）
流线：ψ = 常数
等势线：φ = 常数
美妙性质：流线和等势线处处垂直！
复电势：
E_x - iE_y = -dF/dz
其中 F(z) 是复势函数
电场线和等势线也处处垂直！
薛定谔方程：iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ
波函数 ψ 是复函数！
复数的必要性：
- 描述相位关系
- 表示概率幅
- 处理不确定性
费曼欣赏复分析的统一性：
复分析中的对称性：
- 旋转对称（乘法的几何意义）
- 反演对称（倒数函数）
- 共轭对称（实函数的复扩展）
代数基本定理：$n$ 次复系数多项式恰好有 $n$ 个复根
费曼的感慨：”复数让代数变得完美，每个方程都有解！”
多值函数的几何化：
√z, log z 等多值函数
在黎曼曲面上变成单值函数
双周期函数：
f(z + ω₁) = f(z + ω₂) = f(z)
联系数论、几何、物理
黎曼ζ函数：
ζ(s) = Σ 1/n^s
连接素数分布和复分析
学习步骤：
1. 先画图理解几何意义
2. 再学习代数计算
3. 最后掌握理论证明
对比学习：
实导数 ↔ 复导数
实积分 ↔ 复积分
实级数 ↔ 复级数
应用领域：
- 工程中的信号处理
- 物理中的场论
- 几何中的共形映射
掌握复分析后，可以深入学习：
费曼对复分析的最终评价：
“复数不是’虚’的，而是比实数更’真实’。它们揭示了数学的完整结构，连接了代数、几何、分析的各个分支。更重要的是，它们是描述自然界——从量子力学到流体力学——最自然的语言。”
复分析不仅是数学的一个分支，更是理解自然深层结构的钥匙。通过几何直观，我们能够欣赏到数学的内在美，这种美将指引我们走向更高深的数学和物理领域。
...黑洞是时空中一个引力极强的区域，任何物质、辐射甚至光都无法从中逃脱。
其中史瓦西半径： \(r_s = \frac{2GM}{c^2}\)
事件视界是黑洞的”表面”，具有以下性质：
霍金证明了视界面积在经典过程中单调递增： \(\frac{dA}{dt} \geq 0\)
这类似于热力学第二定律。
其中 $\ell_p$ 是普朗克长度。
大质量恒星（$M > 25 M_\odot$）核燃料耗尽后：
当内部压力不足以抗衡引力时发生塌缩。
在弯曲时空中，量子场论预言黑洞会发射热辐射：
\[\frac{dE}{dt} = -\frac{\hbar c^6}{15360\pi G^2 M^2}\]史瓦西黑洞的蒸发时间： \(t_{evap} = \frac{5120\pi G^2 M^3}{\hbar c^4} \approx 10^{67} \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^3 \text{ 年}\)
霍金辐射似乎是随机的，这与量子力学的幺正性冲突，导致”黑洞信息佯谬”。
用共形坐标描述黑洞的因果结构：
接近视界时，外部观察者看到的时间极度膨胀： \(\frac{dt}{d\tau} = \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1/2}\)
自2015年以来已探测到多个黑洞并合事件：
并合过程的三个阶段：
当 $r \sim \ell_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 10^{-35}$ m 时，需要量子引力理论。
黑洞物理学是广义相对论最引人注目的预言之一，它不仅加深了我们对引力和时空的理解，也为探索量子引力理论提供了重要的线索。
...等价原理（Equivalence Principle）最初由伽利略发现，经过牛顿的发展，最终由爱因斯坦升华为广义相对论的基本原理。
伽利略发现所有物体在引力场中都以相同加速度下落，与物体的质量无关。这暗示了引力的特殊性质。
牛顿区分了两种质量概念：
实验表明：$m_i = m_g$（在适当单位制下）
表述：所有物体在引力场中的运动轨迹都相同，与其组成和内部结构无关。
数学形式：惯性质量与引力质量严格相等 \(m_i = m_g\)
表述：在任意时空点，都存在一个局部惯性坐标系，在该系统中物理定律的形式与狭义相对论中相同。
关键思想：
表述：所有物理定律在局部惯性系中都具有狭义相对论的形式，包括引力自身的动力学。
在引力场中自由下落的观察者感受不到引力的存在：
\[\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = 0\]这是测地线方程的表达。
爱因斯坦著名的升降机思想实验：
自由落体升降机：内部观察者无法区分自由落体状态和无引力的惯性运动
加速升降机：内部观察者无法区分向上加速和均匀引力场
在任意点 $P$，存在坐标系使得： \(g_{\mu\nu}(P) = \eta_{\mu\nu}\) \(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}(P) = 0\)
其中 $\eta_{\mu\nu}$ 是闵可夫斯基度量。
自由粒子沿时空中的测地线运动： \(\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0\)
这将引力几何化：引力不是力，而是时空的几何性质。
物理定律从狭义相对论推广到广义相对论的规则：
牛顿的摆实验：验证不同材料的摆具有相同周期
厄特沃什实验：精确测量惯性质量与引力质量的比值 \(\frac{|m_i - m_g|}{m_i} < 10^{-12}\)
现代实验：卫星实验达到 $10^{-15}$ 的精度
引力红移：光在引力场中传播时频率发生变化
\[\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{g h}{c^2}\]其中 $g$ 是重力加速度，$h$ 是高度差。
高度不同的原子钟走时不同，验证了引力时间膨胀：
\[\frac{dt_{上}}{dt_{下}} = \sqrt{\frac{g_{00}(上)}{g_{00}(下)}}\]等价原理导致引力的几何化描述：
等价原理要求物理定律在任意坐标变换下保持形式不变，导致：
潮汐效应：在有限区域内，真实引力场无法完全”消除”
时空的非局域性质：全局几何信息无法局部获得
等价原理不仅是一个物理原理，更是一个哲学洞察：它揭示了自然界中一个深刻的对称性，并为我们理解引力的本质提供了全新的视角。这个原理将引力从力的概念转化为几何的概念，开创了现代引力理论的新纪元。
...测地线（Geodesic）是弯曲流形上的”最直”路径，它推广了欧几里得空间中直线的概念。在广义相对论中，自由粒子沿测地线运动。
测地线是流形上两点间的极值路径，即：
测地线可以通过变分原理得到。对于参数化曲线 $x^\mu(\tau)$，考虑作用量：
类时情况： \(S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} \, d\tau\)
类光情况： \(S = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \, d\lambda\)
应用变分法，得到测地线方程：
\[\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0\]其中 $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$ 是克里斯托费尔符号。
测地线方程是等价原理的直接数学表述：
测地线方程在任意坐标系下具有相同形式，体现了广义协变性原理。
对于一般测地线，使用仿射参数 $s$： \(\frac{d^2 x^\mu}{ds^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{ds} \frac{dx^\rho}{ds} = 0\)
对于类时测地线，使用固有时 $\tau$： \(g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = -c^2\)
使用坐标时间 $t$ 作为参数： \(\frac{d^2 x^i}{dt^2} + \Gamma^i_{00} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + 2\Gamma^i_{0j} \frac{dt}{d\tau} \frac{dx^j}{dt} + \Gamma^i_{jk} \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0\)
对于史瓦西度量： \(ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\)
径向测地线方程： \(\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM}{r^2} \frac{1}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^2}\)
对于均匀各向同性宇宙： \(ds^2 = -c^2dt^2 + a^2(t)[dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)]\)
共动观察者的世界线是测地线：$r = \text{const}, \theta = \text{const}, \phi = \text{const}$
考虑一束相邻的测地线，其相对运动由测地线偏差方程描述：
\[\frac{D^2 \xi^\mu}{D\tau^2} = R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma\]其中：
给定初始条件：
| 初始速度：$\frac{dx^\mu}{d\tau}\big | _{\tau_0}$ |
求解微分方程组得到轨迹 $x^\mu(\tau)$。
如果度量具有某种对称性（存在基链向量），则相应的守恒量：
对于基链向量 $K^\mu$： \(K_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = \text{常数}\)
能量守恒：$E = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right) c \frac{dt}{d\tau}$
角动量守恒：$L = r^2 \frac{d\phi}{d\tau}$
求解史瓦西度量下的测地线，得到：
光子沿类光测地线传播：
测地线上的固有时与坐标时的关系： \(d\tau = \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}/c\)
测地线方程是广义相对论中最基本的运动方程，它将牛顿力学中的惯性运动推广到弯曲时空，为理解引力的几何本质提供了关键洞察。
...广义协变性（General Covariance）是广义相对论的基本原理之一，它要求物理定律在任意坐标变换下都保持相同的数学形式。
爱因斯坦在发展广义相对论时认识到，如果引力要被几何化，那么物理定律就不能依赖于特定的坐标系选择。
广义协变性原理：所有物理定律都应该能够用张量方程来表达，这些方程在任意坐标变换下保持形式不变。
考虑从坐标系 $x^\mu$ 到 $x’^\nu$ 的任意变换： \(x'^\nu = x'^\nu(x^\mu)\)
变换必须是：
\(\phi'(x') = \phi(x)\)
\(V'^\mu = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu} V^\nu\)
\(\omega'_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\mu} \omega_\nu\)
\((r,s)$ 型张量的变换：\)T’^{\mu_1…\mu_r}{\nu_1…\nu_s} = \frac{\partial x’^\mu_1}{\partial x^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial x’^\mu_r}{\partial x^{\alpha_r}} \frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x’^\nu_1} \cdots \frac{\partial x^{\beta_s}}{\partial x’^\nu_s} T^{\alpha_1…\alpha_r}{\beta_1…\beta_s}$$
普通偏导数 $\partial_\mu V^\nu$ 不是张量，因为： \(\frac{\partial V'^\mu}{\partial x'^\nu} \neq \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu} \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}\)
协变导数 $\nabla_\mu V^\nu$ 是真正的张量： \(\nabla_\mu V^\nu = \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} V^\lambda\)
其中 $\Gamma^\nu_{\mu\lambda}$ 是连接系数。
麦克斯韦方程组的协变形式： \(\nabla_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\nu\) \(\nabla_{[\mu} F_{\nu\lambda]} = 0\)
连续性方程： \(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\)
爱因斯坦场方程： \(G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)
广义协变性是等价原理的数学实现：
在任意点存在坐标系使得： \(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + O(x^2)\) \(\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = O(x)\)
两者都体现了物理理论的基本对称性原理。
广义协变性暗示理论是背景独立的：
在现代场论中，广义协变性的意义更加深刻：
验证一个表达式是否协变：
广义协变性将相对性原理从惯性系推广到任意参考系，体现了：
通过要求广义协变性，物理学从”物质在时空中运动”转向”物质与时空共同演化”。
广义协变性不仅是一个技术性要求，更是一个深刻的物理原理，它体现了时空与物质的统一性，为现代理论物理学奠定了重要基础。
...张量（Tensor）是标量、向量概念的推广，它是在坐标变换下遵循特定变换规律的几何对象。
$(r,s)$ 型张量是具有 $n^{r+s}$ 个分量的对象： \(T^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}\)
在坐标变换 $x^i \to x’^k$ 下： \(T'^{k_1...k_r}_{l_1...l_s} = \frac{\partial x'^{k_1}}{\partial x^{i_1}} \cdots \frac{\partial x'^{k_r}}{\partial x^{i_r}} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x'^{l_1}} \cdots \frac{\partial x^{j_s}}{\partial x'^{l_s}} T^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}\)
张量是定义在流形上的多重线性映射： \(T: T_p^* M \times \cdots \times T_p^* M \times T_p M \times \cdots \times T_p M \to \mathbb{R}\)
\(T_{ij} = T_{ji}\)
\(T_{ij} = -T_{ji}\)
所有指标的任意交换都保持对称/反对称性质。
\((\alpha T + \beta S)^i_j = \alpha T^i_j + \beta S^i_j\)
\((T \otimes S)^{ij}_{kl} = T^i_k S^j_l\)
\(T^i_i = \sum_i T^i_i\)
\(T_{(ij)} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji})\)
\(T_{[ij]} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})\)
\(\alpha \wedge \beta = \alpha_{[i}\beta_{j]}dx^i \wedge dx^j\)
黎曼度量：$g_{ij}$，正定对称 伪黎曼度量：$g_{\mu\nu}$，非退化对称
性质：
完全反对称张量：$\epsilon^{i_1…i_n}$
\[\epsilon^{i_1...i_n} = \begin{cases} +1 & \text{if } (i_1,...,i_n) \text{ is even permutation} \\ -1 & \text{if } (i_1,...,i_n) \text{ is odd permutation} \\ 0 & \text{if any two indices are equal} \end{cases}\]张量场是流形上每一点都定义张量的函数： \(T^{ij}(x): M \to T^{(r,s)} M\)
\(\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^k}\) 不是张量！
\(\nabla_k T^{ij} = \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^k} + \Gamma^i_{kl}T^{lj} + \Gamma^j_{kl}T^{il}\)
\(F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}\)
\(\partial_\mu F^{\mu\nu} = \frac{4\pi}{c} J^\nu\)
\(\sigma_{ij} = \frac{\partial F_i}{\partial A_j}\)
\(I_{ij} = \int \rho(r)(r^2\delta_{ij} - x_ix_j) d^3r\)
\(T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & \rho c v_x & \rho c v_y & \rho c v_z \\ \rho c v_x & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \rho c v_y & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \rho c v_z & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}\)
张量描述的是几何对象的内在性质，不依赖于坐标系的选择。
$(r,s)$ 型张量可以看作： \(T: \underbrace{T_p^* M \times \cdots \times T_p^* M}_{r \text{ times}} \times \underbrace{T_p M \times \cdots \times T_p M}_{s \text{ times}} \to \mathbb{R}\)
符号计算系统：
张量网络：
张量分析不仅是一个数学工具，更是理解现代物理学的语言。它统一了各种物理量的表示方法，使物理定律具有优美的协变形式。
...里奇张量（Ricci Tensor）是由黎曼曲率张量通过指标收缩得到的二阶对称张量，它是描述流形曲率的重要几何量。
里奇张量 $R_{ij}$ 定义为黎曼曲率张量 $R^k_{\ ijk}$ 的迹：
\[R_{ij} = R^k_{\ ikj} = g^{kl} R_{kilj}\]这是对第一和第三个指标的收缩。
在局部坐标系中，里奇张量的分量为：
\[R_{ij} = \frac{\partial \Gamma^k_{ij}}{\partial x^k} - \frac{\partial \Gamma^k_{ik}}{\partial x^j} + \Gamma^k_{ij}\Gamma^l_{kl} - \Gamma^k_{il}\Gamma^l_{kj}\]其中 $\Gamma^k_{ij}$ 是克里斯托费尔符号。
里奇张量是对称张量： \(R_{ij} = R_{ji}\)
这直接来源于黎曼曲率张量的对称性质。
里奇张量是真正的张量，在坐标变换下遵循张量变换法则： \(R'_{ij} = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} R_{kl}\)
里奇标量（Ricci Scalar）$R$ 是里奇张量的迹： \(R = g^{ij} R_{ij}\)
它是流形的内蕴曲率的标量测度。
爱因斯坦张量 $G_{ij}$ 定义为： \(G_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2} R g_{ij}\)
无迹性质：$g^{ij} G_{ij} = 0$（在4维时空中）
比安基恒等式： \(\nabla^i G_{ij} = 0\)
这保证了能量动量守恒。
在爱因斯坦场方程中： \(G_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij}\)
潮汐效应：里奇张量描述相邻测地线的相对加速度
体积变化：正里奇曲率导致测地线束收敛，负里奇曲率导致发散
引力源：在爱因斯坦理论中，里奇张量直接由物质的存在产生
当 $R_{ij} = 0$ 时，称为里奇平坦空间。例子包括：
满足 $R_{ij} = \lambda g_{ij}$ 的流形称为爱因斯坦流形，其中 $\lambda$ 是常数。
里奇张量为：$R_{ij} = \frac{R}{n} g_{ij}$，其中 $n$ 是维数。
对单位球面 $S^2$，度量为： \(ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2\)
里奇张量分量为：
里奇标量：$R = 2$
在史瓦西黑洞的真空区域，里奇张量恒等为零： \(R_{ij} = 0\)
这反映了真空爱因斯坦场方程 $R_{ij} = 0$。
里奇张量是连接几何与物理的桥梁，它在广义相对论中扮演着核心角色，将时空的弯曲与物质的分布直接联系起来。
...连接（Connection）是微分几何中的核心概念，它解决了在弯曲空间中如何定义导数的问题。在平直空间中，我们可以直接比较不同点的向量，但在弯曲流形上，不同点的切空间是不同的线性空间，无法直接比较。
想象在球面上移动一个向量：
流形 $M$ 上的仿射连接是一个映射： \(\nabla: \Gamma(TM) \times \Gamma(TM) \to \Gamma(TM)\)
记作 $\nabla_X Y$，满足：
对第一个参数的 $C^\infty(M)$-线性性： \(\nabla_{fX + gY} Z = f\nabla_X Z + g\nabla_Y Z\)
对第二个参数的线性性： \(\nabla_X (Y + Z) = \nabla_X Y + \nabla_X Z\)
莱布尼兹法则： \(\nabla_X (fY) = X(f) Y + f\nabla_X Y\)
在局部坐标系 ${x^i}$ 中，连接完全由克里斯托费尔符号 $\Gamma^k_{ij}$ 确定：
\[\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} = \Gamma^k_{ij} \frac{\partial}{\partial x^k}\]对任意向量场 $X = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ 和 $Y = Y^j \frac{\partial}{\partial x^j}$：
\[\nabla_X Y = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} Y^j\right) \frac{\partial}{\partial x^k}\]向量场 $V$ 沿方向 $X$ 的协变导数为： \((\nabla_X V)^k = X^i \left(\frac{\partial V^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} V^j\right)\)
对标量函数 $f$：$\nabla_X f = X(f) = X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$
对 $(r,s)$ 型张量 $T$，协变导数包含：
例如，对 $(1,1)$ 型张量： \((\nabla_k T^i_j) = \frac{\partial T^i_j}{\partial x^k} + \Gamma^i_{kl} T^l_j - \Gamma^l_{kj} T^i_l\)
向量 $V$ 沿曲线 $\gamma(t)$ 平行输运当且仅当： \(\frac{DV}{dt} = \nabla_{\dot{\gamma}} V = 0\)
这给出微分方程： \(\frac{dV^k}{dt} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} V^j = 0\)
当流形具有度量 $g$ 时，存在唯一的度量相容且无挠率的连接，称为Levi-Civita连接。
克里斯托费尔符号由度量确定： \(\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)\)
这意味着度量在平行输运下保持不变。
测地线是自平行的曲线，即其切向量沿曲线平行输运： \(\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0\)
参数化为 $\gamma(t) = (x^i(t))$： \(\frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0\)
测地线是两点间的”最短路径”（在适当意义下）。
连接的挠率张量定义为： \(T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]\)
其中 $[X,Y]$ 是向量场的李括号。
Levi-Civita连接具有零挠率：$T^k_{ij} = 0$
连接概念统一了微分几何中的导数、平行输运和测地线理论，为理解弯曲空间的几何提供了强有力的工具。
...流形（Manifold）是现代微分几何的核心概念，它为我们研究弯曲空间提供了严格的数学框架。直观地说，流形是局部看起来像欧几里得空间的几何对象。
一个 $n$ 维拓扑流形 $M$ 是一个拓扑空间，满足：
坐标图（Chart）：流形上一点 $p$ 的坐标图是一个对 $(U, \phi)$，其中：
图册（Atlas）：覆盖整个流形的坐标图的集合
当两个坐标图 $(U_\alpha, \phi_\alpha)$ 和 $(U_\beta, \phi_\beta)$ 重叠时，坐标变换函数为：
\[\phi_{\beta} \circ \phi_\alpha^{-1}: \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\]如果所有坐标变换都是 $C^\infty$ 函数，则称为光滑流形或微分流形。
流形上的函数 $f: M \to \mathbb{R}$ 称为光滑的，如果对于任意坐标图 $(U, \phi)$，复合函数 $f \circ \phi^{-1}$ 在 $\phi(U)$ 上是 $C^\infty$ 的。
记 $C^\infty(M)$ 为流形 $M$ 上所有光滑函数构成的代数。
在物理学中，流形为时空提供了数学描述：
流形概念的引入使得我们能够在弯曲空间中进行微积分运算，这为广义相对论奠定了几何基础。
......
切空间（Tangent Space）是微分几何中的基本概念，它在流形的每一点处定义了一个线性空间，用于描述该点处的”方向”概念。
对于嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的2维曲面，一点处的切空间就是该点处的切平面。但对于抽象流形，我们需要更一般的定义。
设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形，$p \in M$。点 $p$ 处的切空间 $T_p M$ 可以定义为：
方法一：导数算子观点 $T_p M$ 是 $C^\infty(M)$ 上所有在点 $p$ 处的导数算子构成的线性空间。
导数算子 $v: C^\infty(M) \to \mathbb{R}$ 满足：
方法二：等价类观点 考虑通过点 $p$ 的所有光滑曲线，两条曲线等价当且仅当它们在 $p$ 点有相同的切向量。
选择坐标图 $(U, \phi)$，坐标函数为 $(x^1, \ldots, x^n)$，则切空间的自然基底为：
\[\left\{\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p\right\}\]| 其中 $\frac{\partial}{\partial x^i}\big | _p$ 是偏导数算子： |
切空间中的元素称为切向量。任意切向量 $v \in T_p M$ 可以表示为：
\[v = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p\]其中 $v^i$ 是分量，采用爱因斯坦求和约定。
在坐标变换 $x^i \to y^j$ 下，切向量分量的变换规律为：
\[v^j = \frac{\partial y^j}{\partial x^i} v^i\]这是协变变换规律。
所有点处切空间的并集构成切丛（Tangent Bundle）：
\[TM = \bigcup_{p \in M} T_p M\]切丛是一个 $2n$ 维流形，具有自然的丛结构。
流形上的向量场是切丛的截面，即每一点指定一个切向量的光滑选择：
\[X: M \to TM, \quad p \mapsto X_p \in T_p M\]在坐标下表示为：$X = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$
与切空间对偶的是余切空间 $T_p^* M$，它是 $T_p M$ 的对偶线性空间。
| 余切空间的自然基底为：${dx^1 | _p, \ldots, dx^n | _p}$ |
其中 $dx^i$ 满足：$dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta^i_j$
存在自然的配对：$\langle \cdot, \cdot \rangle: T_p^* M \times T_p M \to \mathbb{R}$
设 $\gamma: I \to M$ 是光滑曲线，则 $t_0$ 处的切向量为：
\[\dot{\gamma}(t_0) f = \frac{d}{dt}(f \circ \gamma)\bigg|_{t=t_0}\]沿向量场 $X$ 的方向导数：$(X f)(p) = X_p f$
在物理学中：
切空间概念为在弯曲空间中进行线性代数运算提供了基础，是理解张量和微分形式的关键。
...费曼总是从最简单的现象开始：”为什么摩擦过的琥珀能吸引羽毛？”
古希腊人的观察：
琥珀 + 摩擦 → 能吸引轻小物体
丝绸 + 摩擦 → 也能吸引轻小物体
但是：琥珀和丝绸互相排斥！
费曼的洞察：”自然界中一定存在两种’电’，它们的行为恰好相反！”
就像质量是物质的基本属性一样，电荷也是物质的基本属性：
电荷的基本事实：
1. 只有两种电荷：正电荷(+)和负电荷(-)
2. 同种电荷相斥，异种电荷相吸
3. 电荷守恒：总电荷量不变
4. 电荷量子化：所有电荷都是基本电荷e的整数倍
费曼的比喻：”电荷就像人的性格，有内向和外向两种，同性格的人容易产生竞争（排斥），异性格的人容易互补（吸引）。”
费曼喜欢比较相似的规律：
万有引力定律：F = G(m₁m₂)/r² （总是吸引）
库仑定律： F = k(q₁q₂)/r² （可吸引可排斥）
相似之处：
不同之处：
多个电荷同时存在时会怎样？
三个电荷的情况：
电荷A对电荷C的力：F_AC
电荷B对电荷C的力：F_BC
总力：F_总 = F_AC + F_BC （矢量相加）
费曼的观察：”每个电荷都’不知道’其他电荷的存在，它们只管各自产生自己的力，然后自然界自动把这些力加起来！”
传统观点：电荷直接对远处的电荷施加力（超距作用） 费曼的新观点：电荷在周围空间产生”场”，场再对其他电荷施加力
场的概念：
电荷A → 在空间中产生电场
电场 → 对放入其中的电荷B施加力
费曼的类比：”就像香水的香味弥漫在房间里，走进房间的人会闻到香味。电荷就像香水，电场就像香味。”
电场看不见摸不着，怎么理解？
电场线的概念：
1. 电场线的方向 = 正电荷在该点受力的方向
2. 电场线的密度 = 电场强度的大小
3. 电场线从正电荷出发，到负电荷结束
费曼的想象：”想象电场线是看不见的橡皮筋，它们连接着正负电荷，试图把异种电荷拉到一起。”
单个点电荷周围的电场：
\[\vec{E} = k\frac{q}{r^2}\hat{r}\]几何图像：
正电荷的电场线： 负电荷的电场线：
↗ ↑ ↖ ↙ ↓ ↘
↗ + ↖ ↙ - ↘
→ → ← → ← ←
↘ ↓ ↗ ↖ ↑ ↗
↘ ↓ ↗ ↖ ↑ ↗
想象你有一个神奇的盒子，能够”计数”穿过盒子表面的电场线：
高斯定律的直观理解：
从盒子内部"发出"的电场线总数 = 盒子内部的总电荷量
如果盒子里有：
+1个单位电荷 → 发出1条电场线
-1个单位电荷 → 吸收1条电场线
+1和-1电荷 → 净发出0条电场线
数学表达：\(\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{内}}{\varepsilon_0}\)
费曼的洞察：”电场线不能凭空产生或消失，它们只能从正电荷’发出’，在负电荷’结束’。”
利用对称性，高斯定律能轻松解决复杂问题：
球对称问题：
带电球壳 → 内部电场为零，外部如点电荷
带电球体 → 内部电场线性增加，外部如点电荷
柱对称问题：
无限长带电直线 → 电场与距离成反比
平面对称问题：
无限大带电平面 → 电场处处相等
费曼善于类比：
重力场中：
举起物体 → 增加重力势能 → 放手后物体掉落
高度差 → 重力势能差
电场中：
移动电荷 → 改变电势能 → 放开后电荷运动
电势差 → 电势能差
电势的定义：\(V = \frac{U}{q}\) （单位电荷的电势能）
费曼的几何直观：
电势像"山的高度"：
高电势 → 山顶
低电势 → 山谷
电场 → 山坡的陡峭程度（梯度）
数学关系：\(\vec{E} = -\nabla V\)
物理意义：电场指向电势降低最快的方向！
等势面的性质：
1. 等势面上各点电势相等
2. 电场线垂直于等势面
3. 沿等势面移动电荷不做功
费曼的类比：”等势面就像地形图上的等高线，电场线就像水流的方向——总是从高处流向低处。”
磁的基本观察：
1. 磁铁有N极和S极
2. 同极相斥，异极相吸
3. 磁铁能吸引铁制品
4. 指南针指向北方
费曼的疑问：”磁和电有什么关系？为什么自然界需要两种不同的力？”
1820年，奥斯特发现：电流能影响磁针！
奥斯特实验：
导线中通电流 → 附近的磁针偏转
电流方向改变 → 磁针偏转方向改变
结论：电流产生磁场！
费曼的兴奋：”电和磁不是两种独立的现象，它们是同一现象的两个方面！”
磁场与电场的重要区别：
电场线：
- 有起点（正电荷）和终点（负电荷）
- 可以是开放的曲线
磁场线：
- 没有起点和终点（没有磁单极）
- 总是闭合的曲线
费曼的观察：”磁场线就像橡皮筋做成的圆圈，它们永远是闭合的。”
通电直导线周围的磁场：
右手定则：
拇指指向电流方向
四指弯曲方向 = 磁场环绕方向
磁场强度：B = μ₀I/(2πr)
费曼的想象：”想象电流像钻头，磁场线像钻头产生的木屑螺旋。”
费曼的解释：”沿任意闭合回路，磁场的’环流’只取决于穿过回路的电流总和。”
安培定律的应用：
1. 直导线磁场
2. 螺线管内部磁场
3. 环形导线磁场
如果电能产生磁，那么磁能产生电吗？
法拉第的实验：
变化的磁场 → 产生电流
磁铁快速移动 → 线圈中产生电流
线圈中电流变化 → 另一个线圈中产生电流
法拉第感应定律：\(\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)
费曼的诗意表达：”变化的磁场’呼唤’着电场，就像变化的电场’呼唤’着磁场。”
楞次定律：感应电流的方向总是反对引起它的磁通量变化。
楞次定律的例子：
磁铁靠近线圈 → 感应电流产生磁场阻止磁铁靠近
磁铁远离线圈 → 感应电流产生磁场阻止磁铁远离
费曼的哲学：”自然界是’保守的’，它不喜欢变化，总是试图维持现状。”
费曼称麦克斯韦方程组为”物理学皇冠上的明珠”：
1. 高斯定律（电）：∇·E = ρ/ε₀
"电荷产生电场"
2. 高斯定律（磁）：∇·B = 0
"没有磁单极"
3. 法拉第定律：∇×E = -∂B/∂t
"变化的磁场产生电场"
4. 安培定律（修正）：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t
"电流和变化的电场产生磁场"
麦克斯韦发现了第四个方程中缺少的一项：位移电流
麦克斯韦的思考：
如果变化的磁场能产生电场（法拉第定律）
那么变化的电场也应该能产生磁场！
这个"位移电流"项：μ₀ε₀∂E/∂t
费曼的评价：”这个小小的修正项，预言了电磁波的存在，改变了整个世界！”
从麦克斯韦方程组可以推导出：
\[\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = \frac{1}{\mu_0\varepsilon_0}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}\]这是标准的波动方程！波速：\(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\)
电磁波的奇妙性质：
1. 电场和磁场相互垂直
2. 两者都垂直于传播方向
3. 电场和磁场同相变化
4. 波速等于光速！
费曼的震撼：”光就是电磁波！电磁学统一了光学！”
电磁波家族：
无线电波 ← 微波 ← 红外线 ← 可见光 ← 紫外线 ← X射线 ← γ射线
频率从低到高，波长从长到短
本质都是电磁波！
费曼指出，场的概念带来了物理学的革命性转变：
牛顿时代的观点：
物质 = 粒子
相互作用 = 粒子间的直接作用力
场论时代的观点：
物质 = 粒子 + 场
相互作用 = 场传递的相互作用
费曼强调：”场不是数学抽象，而是物理实在！”
场具有实在性的证据：
1. 场携带能量：E = ½(ε₀E² + B²/μ₀)
2. 场携带动量：p = ε₀E×B
3. 场可以独立存在（电磁波）
电场和磁场实际上是同一个物理实体的不同方面：
相对论观点：
静止观察者看到：纯电场
运动观察者看到：电场+磁场
结论：电磁场是四维时空中的统一实体！
经典电磁学的辉煌成就：
1. 统一了电、磁、光现象
2. 预言了电磁波的存在
3. 导致了无线通信技术
4. 奠定了现代电气时代
费曼指出：”当我们深入思考电磁波的性质时，就会发现光速的特殊性，这引导我们走向相对论。”
相关联系：
经典电磁学的困难：
1. 黑体辐射问题
2. 光电效应
3. 原子稳定性问题
这些问题催生了量子力学的诞生
费曼欣赏麦克斯韦方程组的对称性：
费曼总是寻找直观的图像：
费曼强调：”数学不仅是描述物理的工具，它揭示了自然的内在结构。”
学习顺序：
观察现象 → 寻找规律 → 建立理论 → 预测新现象
对称性思考：
为什么电有正负？
为什么磁场线是闭合的？
为什么变化的电场产生磁场？
概念网络：
电荷 → 电场 → 电势 → 电流 → 磁场 → 感应 → 波动
费曼的最终建议：“不要只是学习公式，要理解现象背后的物理图像。电磁学不仅是一套数学工具，更是理解自然的美妙方式。”
通过掌握电磁学，我们为理解 [狭义相对论] 和现代物理学奠定了坚实基础。场的概念将在 [广义相对论] 中得到进一步发展。
...费曼总是说：”物理学就是观察自然，然后找出规律。”让我们从最简单的观察开始：
观察1：苹果从树上掉下来 观察2：推桌子需要用力 观察3：冰面上的冰球会一直滑行
这些看似无关的现象，背后隐藏着什么统一的规律呢？
想象你是一个外星人，第一次观察地球上的汽车：
汽车的运动描述：
时刻 t=0s: 位置 x=0m (汽车在起点)
时刻 t=1s: 位置 x=10m (汽车前进了10米)
时刻 t=2s: 位置 x=30m (汽车又前进了20米)
速度就是”位置变化的快慢”：
加速度就是”速度变化的快慢”：
费曼会说：”看，数学只是描述我们观察到的现象的语言！”
想象你在一个完全光滑的冰面上推一个冰球：
推冰球实验：
1. 用力推一下 → 冰球开始运动
2. 停止推力 → 冰球继续运动（没有摩擦）
3. 冰球会永远运动下去！
费曼的洞察：”物体不需要力来维持运动，只需要力来改变运动！”
这与我们的日常经验相矛盾，因为现实中总有摩擦力：
现实中的球：
推球 → 球滚动 → 逐渐减速 → 停止
↑
摩擦力在"欺骗"我们的直觉
惯性不是一种力，而是物体的固执：
费曼比喻：”物体就像固执的老人，不喜欢改变现状！”
想象你推一辆购物车：
推车实验：
情况1：空车 + 小力 → 容易推动（大加速度）
情况2：空车 + 大力 → 很容易推动（更大加速度）
情况3：满车 + 小力 → 难推动（小加速度）
情况4：满车 + 大力 → 还是比较难推（中等加速度）
费曼的观察：
因此：F = ma
费曼问：”质量到底是什么？”
质量不是重量！质量是物体对加速度的”抗拒程度”：
太空中的例子：
- 宇航员：在太空中没有重量，但质量不变
- 推宇航员：仍然需要力，因为质量产生惯性
费曼的比喻：”质量就像物体的’懒惰程度’——越重的物体越懒，越不愿意改变运动状态。”
多个力同时作用时会怎样？
拔河比赛的物理：
左边3人 → 300N的力向左
右边2人 → 200N的力向右
净力 = 300N - 200N = 100N向左
费曼的洞察：”自然界很’聪明’，它会自动计算所有力的矢量和！”
站在地上推墙：
推墙分析：
你推墙 → 墙也在推你（反作用力）
为什么你没有被推倒？
因为地面给你向前的摩擦力！
费曼的表述：”你不能只推别人而不被推，这是宇宙的基本规则！”
为什么火箭能在太空中飞行？
火箭推进：
火箭向后喷气 → 气体获得向后的动量
根据第三定律 → 火箭获得向前的动量
不需要"推"任何东西！
费曼的类比：”就像你在滑冰时扔出一个重球，球向前飞，你向后滑。”
走路时发生了什么？
走路的秘密：
1. 脚向后推地面
2. 地面向前推脚（第三定律）
3. 摩擦力让这种推力成为可能
4. 人向前移动
在光滑冰面上为什么走不了？
因为没有摩擦力传递这种推力！
费曼最喜欢讲这个故事：
牛顿的洞察：
苹果掉落 ← 地球引力
月球绕地球转 ← 也是地球引力！
关键问题：为什么月球不掉下来？
答案：月球一直在"掉落"，但同时在向前运动！
想象你在高山上水平抛球：
抛球实验的思考：
速度小 → 球掉到地面
速度中等 → 球飞得更远才落地
速度很大 → 球飞得很远很远...
速度超大 → 球永远不落地（轨道运动）！
费曼的比喻：”卫星就是一直在掉落，但地球表面总是’躲开’它！”
费曼的解读：
费曼问：”什么是能量？”
动能的例子：
慢慢走的人 → 小动能 → 撞到你不太疼
快跑的人 → 大动能 → 撞到你很疼
卡车 → 巨大动能 → 撞到你...别想了
动能公式：$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
费曼的解释：”动能就是物体因为运动而具有的’伤害能力’！”
重力势能的例子：
高处的石头 → 有势能 → 掉下来能砸坏东西
低处的石头 → 没势能 → 掉不了了
弹簧势能：
压缩的弹簧 → 有势能 → 能弹射物体
松弛的弹簧 → 没势能 → 什么都不能做
费曼的比喻：”势能就像银行存款，动能就像现金。你可以随时取出存款变成现金！”
过山车的能量转换：
山顶：高势能，零动能
山底：零势能，高动能
上坡：动能→势能
下坡：势能→动能
费曼的洞察：”宇宙就像一个完美的会计师，能量的总账永远平衡！”
动量的比较：
蚊子（小质量，中等速度） → 小动量 → 撞到你没感觉
棒球（中等质量，高速度） → 大动量 → 撞到你很疼
卡车（大质量，低速度） → 巨大动量 → 撞到你...
动量公式：$\vec{p} = m\vec{v}$
台球碰撞：
碰撞前：球A有动量，球B静止
碰撞后：两球都有动量
关键：总动量保持不变！
费曼的类比：”动量就像传染病，会从一个物体’传染’给另一个物体，但总量不变。”
花样滑冰的物理：
张开手臂旋转 → 转得慢
收拢手臂旋转 → 转得快
为什么？角动量守恒！
费曼的解释：”旋转的物体有一种’固执’，它想保持旋转状态不变。”
为什么旋转的陀螺不倒？
陀螺效应：
不旋转的陀螺 → 重力让它倒下
旋转的陀螺 → 角动量"抗拒"倒下
结果 → 陀螺进动（摇摆但不倒）
费曼说：”不要记住公式，要理解现象。公式只是现象的简洁描述。”
费曼善用类比：
费曼常问：
费曼相信：”自然的基本规律都很简单，如果你的解释很复杂，可能是你没有真正理解。”
费曼从不隐瞒理论的局限性：
牛顿力学失效的地方：
1. 高速运动（接近光速）→ 需要相对论
2. 微观世界（原子尺度）→ 需要量子力学
3. 强引力场（黑洞附近）→ 需要广义相对论
费曼的态度：”每个理论都有适用范围，就像每把钥匙只能开特定的锁。”
牛顿力学的辉煌成就：
费曼指出：”当我们问’什么是同时性？’时，就踏上了通往相对论的道路。”
相关概念：
费曼的学习方法：
记住费曼的名言：“我不能创造的东西，我就不理解。”
费曼认为，物理学不仅是科学，更是一种看世界的美妙方式：
费曼的最终信息：”物理学让我们看到世界的深层美丽，这种美丽比表面的美丽更加持久和深刻。”
通过理解牛顿力学，我们不仅掌握了描述运动的工具，更重要的是，我们学会了用物理学家的眼光看世界——这是通往 [狭义相对论] 和 [广义相对论] 的必经之路。
...特点：
距离模数-红移关系显示： \(\mu(z) = 5\log_{10} d_L(z) + 25\)
观测到的超新星比预期的更暗，意味着距离更远，宇宙膨胀在加速。
从弗里德曼方程得到： \(\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}\)
加速膨胀条件：$\ddot{a} > 0$，要求： \(\rho + \frac{3p}{c^2} < 0\)
定义状态方程参数： \(w = \frac{p}{\rho c^2}\)
不同物质的w值：
加速膨胀要求：$w < -1/3$
最初引入宇宙学常数$\Lambda$以获得静态宇宙解： \(G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}\)
量子场论预言真空具有非零能量密度： \(\rho_{\text{vac}} = \frac{1}{2}\sum_k \hbar\omega_k\)
问题：理论预言值比观测值大约$10^{120}$倍！
为什么观测到的宇宙学常数如此之小？这是理论物理学最严重的精调问题之一。
特征：
精质暗能量（Quintessence）：
拉格朗日量： \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi)\)
特征：$w < -1$
修改爱因斯坦-希尔伯特作用量： \(S = \int d^4x \sqrt{-g} f(R)\)
在高维时空中，4维有效理论可能表现出暗能量行为。
Ia型超新星的距离-红移关系确认加速膨胀。
早期宇宙声波振荡的”化石”提供标准尺度： \(r_s = \int_0^{z_d} \frac{c_s(z')}{H(z')} dz'\)
CMB观测确定：
光子穿过大尺度结构时的引力红移效应。
测量星系的空间分布和演化历史：
当前观测值： \(\rho_{\Lambda,0} \approx 6 \times 10^{-30} \text{ g/cm}^3\)
宇宙中不同成分的演化：
为什么暗能量和物质密度在今天相当？这可能不是巧合： \(\Omega_m(z=0) \sim \Omega_\Lambda(z=0)\)
已完成的大规模弱引力透镜和星系巡天。
欧空局的暗能量探测卫星，将观测数十亿星系。
将进行史上最大规模的光学巡天。
通过拟合观测数据确定$w_0$和$w_a$。
为什么宇宙学常数恰好是观测值？可能的解释：
暗能量可能与量子引力的红外行为有关：
某些研究者质疑暗能量是否是观测误差：
不引入暗能量，而是修改引力理论：
暗能量的发现彻底改变了我们对宇宙的理解，它不仅挑战了我们的理论框架，也为未来的物理学发展指明了方向。解开暗能量之谜可能需要超越当前物理学的新理论。
...暗物质的存在基于多个独立的观测证据，形成了令人信服的证据链。
观测现象：星系外围恒星的轨道速度不随距离下降 \(v(r) = \sqrt{\frac{GM(r)}{r}}\)
预期：根据可见物质分布，速度应该随 $r^{-1/2}$ 下降 观测：速度在大半径处趋于常数
暗物质解释：存在延展的暗物质晕 \(\rho_{DM}(r) \propto r^{-2} \quad (r \gg r_c)\)
星系团中的热气体温度： \(kT \sim \frac{m_p v^2}{3} \sim \frac{Gm_p M}{3r}\)
观测到的温度要求比可见物质更大的总质量。
\(\frac{dp}{dr} = -\rho_{gas} \frac{GM(r)}{r^2}\)
从气体压力梯度推断引力质量分布。
从CMB观测确定的宇宙学参数：
冷暗物质模型（$\Lambda$CDM）：
\(\rho(r) = \frac{\rho_s}{(r/r_s)(1+r/r_s)^2}\)
其中 $\rho_s$ 和 $r_s$ 是特征密度和半径。
观测显示星系中心的暗物质密度比NFW预言的要低（”cusp-core”问题）。
特征：
freeze-out机制： \(\Omega_{DM} h^2 \approx \frac{3 \times 10^{-27} \text{ cm}^3/\text{s}}{\langle \sigma v \rangle}\)
理论动机：解决强CP问题 质量范围：$10^{-12} - 10^{-2}$ eV 相互作用：与光子极微弱耦合
特征：
形成机制：早期宇宙的密度涨落塌缩 质量范围：广泛的质量窗口 约束：来自引力波、伽马射线等观测
主要实验：
由于地球轨道运动，暗物质信号应显示年调制： \(R(t) = R_0 + R_1 \cos\left[\frac{2\pi(t-t_0)}{T}\right]\)
暗物质对湮灭产生标准模型粒子： \(\chi\chi \to \gamma\gamma, \, e^+e^-, \, p\bar{p}, \, \nu\bar{\nu}\)
观测目标：
如果暗物质不完全稳定： \(\chi \to X + \text{lighter particles}\)
寿命必须 $\tau \gg t_{\text{universe}}$。
在高能对撞机中产生暗物质： \(pp \to \chi\chi + X\)
通过失踪横动量识别暗物质信号。
用低能有效理论描述暗物质与标准模型的相互作用。
最轻超对称粒子（LSP）：
Kaluza-Klein暗物质：
暗区模型：
银河系的暗物质子晕数量比观测到的卫星星系多得多。
最亮的卫星星系质量比理论预期小。
基本思想：在极低加速度下修正引力定律 \(a = a_N \mu(a/a_0)\)
其中 $a_0 \sim 10^{-10}$ m/s² 是特征加速度。
f(R)引力、标量-张量理论等尝试解释暗物质现象而不引入新粒子。
暗物质是现代宇宙学和粒子物理学最重要的未解之谜之一，它的发现将极大地改变我们对宇宙的理解。
...弗里德曼方程组是通过将完美流体的能量动量张量代入爱因斯坦场方程，并采用FLRW度量得到的宇宙演化方程。
物理意义：
物理意义：
物理意义：能量守恒定律在膨胀宇宙中的表现
当前值：$\rho_{c,0} \approx 9.47 \times 10^{-27}$ kg/m³
标准宇宙学模型的参数：
\(a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{2/3}\) \(H(t) = \frac{2}{3t}\)
\(a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^{1/2}\) \(H(t) = \frac{1}{2t}\)
对于近距离天体的线性近似。
Ia型超新星作为标准烛光，验证了：
CMB观测确定了：
BAO测量提供了：
研究 $(a, \dot{a})$ 相空间中的轨迹。
弗里德曼方程是现代宇宙学的核心，它将宇宙的几何演化与物质内容联系起来，为理解宇宙历史提供了定量框架。
...FLRW度量（Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metric）是描述均匀各向同性宇宙的时空度量，以四位宇宙学家的名字命名。
FLRW度量基于宇宙学原理：
其中：
通过爱因斯坦场方程，得到控制宇宙演化的弗里德曼方程：
其中 $H = \dot{a}/a$ 是哈勃参数。
对于非相对论性物质：$p = 0$ \(\rho_m \propto a^{-3}\) \(a(t) \propto t^{2/3}\)
对于相对论性粒子：$p = \rho c^2/3$ \(\rho_r \propto a^{-4}\) \(a(t) \propto t^{1/2}\)
对于宇宙学常数：$p = -\rho c^2$ \(\rho_\Lambda = \text{常数}\) \(a(t) \propto e^{Ht}\)
其中 $z$ 是红移，$t_e$ 是发射时间。
FLRW度量为现代宇宙学提供了数学基础，使我们能够定量研究宇宙的演化历史。
...圆是有一条线围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连成的所有线段都相等
...设AB是给定的有限直线。
于是，要求在直线AB上作一个等边三角形。
...等于减等量其差相等
...等于同量的量彼此相等
...一直线与两条直线相交，若在同侧两内角之后小于两直角，则这两条直线在无限延长后在该侧相交
...所有直角都彼此相等
...以任一点为心和任意距离可以作圆
...一条有限直线可以继续延长
...任意两点可作一条直线通过它们
...